求 i^2+ (i+1)^2 + ... + j^2
自己想到一个推导，但是很复杂。
在网上找到另外一个什么 Gauss 方法，简单点，但估计推广到 n 次方比我想到的更麻烦。

有没有知道更简单的推导?

1 + 2^2 + ... + j^2 - (1 + 2^2 + ... + (i-1)^2)

1 + 2^2 + ... + n^2 应该有公式可以求

引用:

原帖由 andrew 于 2007-4-3 09:40 PM 发表
求 i^2+ (i+1)^2 + ... + j^2
自己想到一个推导，但是很复杂。
在网上找到另外一个什么 Gauss 方法，简单点，但估计推广到 n 次方比我想到的更麻烦。

有没有知道更简单的推导?

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

引用:

原帖由 X 于 2007-4-3 09:50 PM 发表
1 + 2^2 + ... + j^2 - (1 + 2^2 + ... + (i-1)^2)

1 + 2^2 + ... + n^2 应该有公式可以求

我的问题就是要推导出这个公式，而且要在不知道答案的情况下，就是说不能prove by induction.

谢谢，这个就是 Gauss method. 有没有更简单的?

引用:

原帖由 X 于 2007-4-3 09:55 PM 发表
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n ...

好难啊，走人。

引用:

原帖由 andrew 于 2007-4-3 09:57 PM 发表
谢谢，这个就是 Gauss method. 有没有更简单的?

这个是高中学的方法，应该最简单了吧，不过似乎不好推广到n次方

这是什么课，Calculus么？

我心目中的答案是些聪明的想法....
如像想一些方体，第一层１个，第二层４个，第三层９个．．．．到第 n 层的体积是．．．不过我从这方向没法想出推导来。

引用:

原帖由 dongdongfish 于 2007-4-3 10:13 PM 发表


这个是高中学的方法，应该最简单了吧，不过似乎不好推广到n次方